datadiva · statisztika gyorstalpalóLeíró statisztika: egy változó, sok mutató
Mielőtt bármilyen tesztet futtatnál, meg kell ismerned az adataidat. Ebben a leckében végigmegyünk a leggyakoribb leíró statisztikai mutatókon: mikor melyiket használd, és mit mondanak el a változóról.
A leíró statisztika egy változót jellemez. Hogy milyen mutatót számolhatsz, azt a változó mérési szintje dönti el:
- Kategóriák (nominális, ordinális): gyakoriság és relatív gyakoriság (százalék).
- Számok (intervallum, arány): a mutatók három családja:
- Középértékek és kvantilisek: átlag, medián, módusz, kvartilisek
- Szóródási mutatók: min–max, terjedelem, IQR, szórás, variancia
- Alakmutatók: ferdeség, csúcsosság
- Ábrán: hisztogram és boxplot.
Melyik mutató mire jó? Egy táblázatban.
Egy változó, egy oszlop
A leíró statisztika egyváltozós elemzés: egyetlen változót, vagyis az adatbázisod egyetlen oszlopát jellemzed. Hogy mit számolhatsz ki belőle, azt a változó mérési szintje dönti el.
Csak kategóriák vannak
Ezért a kategóriák megoszlásán van a fókusz: hány fő tartozik az egyes csoportokba, és ez hány százalék.
Számokat látunk
Ezért mutatószámokat is ki tudunk számolni belőlük: középértékeket, szóródási és alakmutatókat.
Gyakoriságok és relatív gyakoriságok
Nominális és ordinális változóknál két dolgot nézel meg:
Gyakoriság
Miből hány darab van (fő, db).
Relatív gyakoriság
Mi hány százalékot tesz ki az összesből.
Ezt egy gyakorisági táblában (frequency table) foglalod össze, és oszlopdiagramon vagy sávdiagramon ábrázolod.
| Régió | Gyakoriság | Relatív gyakoriság |
|---|---|---|
| Régió 1 | 105 | 21,0% |
| Régió 2 | 82 | 16,4% |
| Régió 3 | 97 | 19,4% |
| Régió 4 | 110 | 22,0% |
| Régió 5 | 106 | 21,2% |
| Összesen | 500 | 100% |
A mutatók három családja
Intervallum és arány változóknál a leggyakoribb leíró statisztikai mutatók három csoportba rendezhetők:
Mielőtt számolni kezdesz: az elemszám
| Fogalom | Jelentés |
|---|---|
| Elemszám | Hány megfigyelés van. |
| Valid | Ahol valóban van adat (megválaszolta a kérdést). |
| Missing | Nincs adat. |
| A teljes minta elemszáma | valid + missing |
Középértékek és kvantilisek
A középértékek egyetlen mutatószámban próbálnak megfogalmazni valamilyen nagyon tipikus tulajdonságot a vizsgált változóról. Két fajtájuk van: a számított középérték (átlag) és a helyzeti középértékek (medián és módusz).
Átlag
számtani középAz összes adat összege elosztva az adatok számával. Jellemzően a sima számtani átlagot használjuk, illetve annak súlyozott formáját.
Mikor hasznos? Ha az adatok nagyjából egyenletesen oszlanak el, az átlag jól jellemzi a mintát.
Példa: 5 fogyasztó 70, 80, 90, 60 és 100 pontra értékel egy terméket: (70+80+90+60+100)/5 = 80 pont.
Hátrány: érzékeny a szélsőséges értékekre (kiugró adatokra). Egy nagyon magas vagy nagyon alacsony adat „elhúzza” az átlagot.
Medián
felező pontAz adatok középső értéke, ha növekvő sorrendbe rendezzük őket. Páros számú adatnál a két középső adat átlaga.
Mikor hasznos? Olyan adatoknál, ahol szélsőséges értékek lehetnek, mert nem érzékeny rájuk. Legalább ordinális szintű adaton értelmezzük, de valódi haszna számszerű adatokon van.
Példa: a pontszámok 60, 70, 80, 90, 100: a medián a középső érték, azaz 80. Vagy: a pedagógusok fele 20,5 évnél rövidebb, fele ennél hosszabb ideje van a pályán.
Előny: kevésbé érzékeny a kiugró adatokra.
Módusz
a leggyakoribb értékAz az érték, amely a legtöbbször fordul elő.
Mikor hasznos? Ha meg szeretnéd tudni, melyik érték a leggyakoribb. Különösen hasznos kategorizált adatoknál.
Példa: a pontszámok 60, 70, 80, 80, 90, 100: a módusz 80, mert ez fordul elő a legtöbbször.
Előny: kategorizált, gyakoriságon alapuló adatoknál nagyon hasznos, például egy ruhaboltban a legkeresettebb méret meghatározásához. Kvantitatív adatoknál ritkán hasznos, mert ott gyakran minden érték egyedi (pl. fizetések). Ilyenkor intervallumokba rendezzük az adatokat, és azt nézzük, melyik intervallumba esik a legtöbb megfigyelés.
Módusz: nominális és ordinális változóknál van igazán értelme (a korábbi régiós példában a módusz a Régió 4, 110 fővel). Kvantitatív változóra is ki lehet számolni, de általában fölösleges.
Likert-skála: a tudományban vita van arról, hogy ordinálisnak vagy intervallumnak számít-e. Azonban a belőlük összeadással vagy átlagolással képzett összesített skálát általában már egységesen kvantitatívként kezelik.
Kvantilisek (kvartilisek)
A kvantilisek osztópontok, amelyek egyenlő nagyságú részekre osztják a megfigyeléseket. A leggyakoribbak a kvartilisek: rangsorba állítod a megfigyeléseket, és négy egyforma méretű alcsoportra osztod őket.
Q1: első kvartilis
Az adathalmaz alsó 25%-a. Az adatok negyede kisebb vagy egyenlő nála, háromnegyede nagyobb.
Példa: ha Q1 = 30, az adatok 25%-a 30-nál kisebb vagy egyenlő.
Q2: medián
Az adatok középső értéke: a megfigyelések fele kisebb nála, fele nagyobb. Ez nem más, mint a második kvartilis.
Példa: ha a medián 50, az adatok fele 50-nél kisebb, a másik fele nagyobb.
Q3: harmadik kvartilis
Az adathalmaz felső 25%-a. Az adatok háromnegyede kisebb vagy egyenlő nála, negyede nagyobb.
Példa: ha Q3 = 70, az adatok 75%-a 70-nél kisebb vagy egyenlő.
A kvartilisek számítási módja szoftverenként kissé eltérhet, ezért a kimenetben látott értékek kis mértékben különbözhetnek.
További tipikus osztópontok: tercilis (3 felé), kvartilis (4), kvintilis (5), decilis (10), percentilis (100).
Szóródási mutatók
A szóródási mutatók a változó eloszlásának sokszínűségét mérik.
| Mutató | Mit jelent? | Példa |
|---|---|---|
| Min, max | A legkisebb és a legnagyobb érték. | min = 1 év, max = 43 év |
| Terjedelem (range, T / R) | Max − min: az adatok terjedelme. | T = 43 − 1 = 42 év: a tapasztalati évek egy 42 év hosszúságú intervallumon belül helyezkednek el |
| Szórás (SD, standard deviation) | Az átlagtól vett tipikus (átlagos) eltérés, vagyis az adatok heterogenitásának, változékonyságának mutatója. Pontosabban: az átlagtól vett eltérések négyzetes átlagának gyöke. | Minél nagyobb a szórás, annál heterogénebb, változékonyabb a minta |
| Variancia | A szórás négyzete. Matematikailag nagyon fontos, de önmagában nem értelmezzük. | (a szórás négyzete) |
| IQR (interkvartilis terjedelem) | Az adatok középső 50%-ának terjedelme, azaz Q3 − Q1 távolsága. | a kvartilisek az 1. mutatócsaládnál szerepelnek |
Ha átlagot riportálsz, mellé mindig riportáld a szórást is! Az átlag önmagában félrevezető lehet.
Ugyanaz az átlag, nagyon más változékonyság
Négy vizsgán 20 diák ugyanannyi, 10 pontos átlagot ért el. Mégsem ugyanaz a négy eredmény:
Az 1. vizsgán mindenki pontosan 10 pontot kapott (szórás = 0). A 4. vizsgán az eredmények 6 és 16 között szóródtak (szórás = 3,43). Minél nagyobb a szórás, annál heterogénebb a minta.
A szórásokat a szoftverek alapértelmezése szerint, mintaszórásként (n − 1-gyel osztva) számoltuk.
Alakmutatók
Az alakmutatók az eloszlás alakját jelzik, mindig a normális eloszláshoz képest. A normális eloszlás egy folytonos eloszlás, amely szimmetrikus az átlag körül, és ún. haranggörbével ábrázolható. Leggyakrabban természetes és szociális jelenségek jellemzésére használják.
Pozitív (+): az alacsony értékek dominálnak (pl. a fizetések).
Negatív (−): a magasabb értékek dominálnak (pl. a tanulmányi átlagok).
Az ábrákon azonos szórású eloszlások láthatók, a szaggatott vonal a normális eloszlás. A statisztikai szoftverek (SPSS, jamovi, JASP) a normális eloszláshoz viszonyított értéket adnak meg, ahol a normális eloszlásé 0.
Átlag, medián, módusz: az eloszlás alakjától függ a sorrendjük
A ferdeség a középértékek helyzetén is meglátszik: a hosszú farok általában az átlagot húzza el a leginkább, a móduszt a legkevésbé.
Boxplot és hisztogram
Kvantitatív változót két ábrával szoktunk bemutatni.
Hisztogram
Intervallumokat képez, és az egyes intervallumokhoz tartozó gyakoriságokat jeleníti meg (hányan esnek az adott intervallumba). Mivel folytonos változóról van szó, az oszlopok összeérnek egymással.
Boxplot
Doboz ábra, doboz-bajusz ábra (box-whiskers). Minél nagyobb a doboz, annál nagyobb a szóródás, minél kisebb a doboz, annál kisebb a szóródás. (A doboz az IQR-t, a középső 50% terjedelmét mutatja.)
Hiba: oszlopdiagramot intervallumba rendezés nélkül kvantitatív adatra ráereszteni kifejezetten hibás. Kvantitatív adatra hisztogramot használj. (Részletesen a mérési szintekről szóló leckében.)
A boxplot részei
Q1 (25. percentilis): az alsó dobozhatár, ahol az adatok alsó 25%-a található.
Q3 (75. percentilis): a felső dobozhatár, amely az adatok felső 25%-ától választja el a középső 50%-ot.
Q2, medián: a dobozban lévő vonal, amely az adatok középpontját jelzi (50. percentilis).
Alsó és felső „bajuszok” (whiskerek): megmutatják, meddig terjed az adatok többsége, a legkisebb és legnagyobb értékek között, amelyek még nem kilógók.
Kilógó értékek: olyan adatok, amelyek távol esnek a doboz tartományától, de még elfogadható mértékben. Általában a doboztól mérve az 1,5-szeres interkvartilis tartománynál (IQR) távolabb találhatók.
Extrém kilógó értékek: jelentősen messzebb esnek az eloszlás többi részétől: a doboztól számítva több mint 3-szoros IQR-en kívül vannak. Nagyobb figyelmet igényelnek, mert szélsőséges adatoknak számítanak.
Melyik mutató mire jó?
| Mutató | Mit mond? | Mikor értelmezzük? |
|---|---|---|
| Gyakoriság, relatív gyakoriság | hányan vannak az egyes kategóriákban | nominális, ordinális |
| Módusz | a leggyakoribb érték | főleg nominális, ordinális (kvantitatívra is kiszámolható, de általában fölösleges) |
| Medián | a felező pont | legalább ordinális, számszerű adaton igazán hasznos |
| Átlag | a számtani közép | intervallum, arány |
| Min, max, terjedelem | az adatok által átfogott tartomány | intervallum, arány |
| Szórás, variancia | mennyire változékony a minta | intervallum, arány |
| IQR, kvartilisek | a középső 50% terjedelme, osztópontok | intervallum, arány |
| Ferdeség, csúcsosság | az eloszlás alakja a normálishoz képest | intervallum, arány |
Értem már?
Öt gyors kérdés. Kattints a szerinted helyes válaszra!
Gyakori kérdések
Mikor használjak átlagot, és mikor mediánt?
Az átlag akkor jellemzi jól a mintát, ha az adatok nagyjából egyenletesen oszlanak el, mert érzékeny a kiugró értékekre. A medián kevésbé érzékeny rájuk, ezért ott jobb választás, ahol szélsőséges értékek lehetnek.
Miért kell az átlag mellé a szórást is megadni?
Mert az átlag önmagában félrevezető lehet. Ugyanakkora átlag mögött nagyon különböző változékonyság állhat. Ha átlagot riportálsz, mellé mindig riportáld a szórást is.
Mi a különbség a szórás és a variancia között?
A szórás az átlagtól vett tipikus eltérés: minél nagyobb, annál változékonyabb a minta. A variancia a szórás négyzete. Matematikailag fontos, de ritkán értelmezzük.
Mit mutat a ferdeség és a csúcsosság?
Az eloszlás alakját a normális eloszláshoz képest, amelynek az értéke 0. Pozitív ferdeségnél az alacsony értékek dominálnak (például a fizetéseknél), negatívnál a magasak (például a tanulmányi átlagoknál). Pozitív csúcsosságnál hegyesebb a csúcs és több a szélsőséges érték, negatívnál laposabb.
Hogyan függ össze az átlag, a medián és a módusz az eloszlás alakjával?
Szimmetrikus eloszlásnál egybeesnek. Pozitív ferdeségnél jellemzően módusz < medián < átlag, negatívnál módusz > medián > átlag, mert a hosszú farok az átlagot húzza el a leginkább.
Mi az IQR?
Az interkvartilis terjedelem az adatok középső 50%-ának terjedelme, vagyis Q3 − Q1. A boxplot dobozának hossza is ezt mutatja.
Elakadtál? Együtt megcsináljuk!
A leíró statisztika elsőre egyszerűnek tűnik. A nehezebb része az, amikor a saját adataidnál kell eldöntened, melyik változóhoz melyik mutatót érdemes használni, mit mutat a kimenet, és hogyan írd le a dolgozatodban. Ott szoktak megcsúszni a szakdolgozatok, a disszertációk és a beadandók.
Nem helyetted, hanem veled nézzük végig a kutatási kérdésedet és az adataidat, hogy te is értsd, mit miért csinálsz. SPSS, JASP, jamovi: ami neked kényelmes.
Tovább: a mutatók kiválasztása a mérési szintek ismeretén múlik. A saját adataid leíró statisztikáját együtt kiszámoljuk SPSS, JASP vagy jamovi programban. Vedd fel velem a kapcsolatot, és megbeszéljük, miben segíthetek.
Telefon: Telefonszám megjelenítése · WhatsApp · Viber
zsuzsanna.kun@datadiva.hu · datadiva.hu